☛ ⚒ ** Intersection d'une sphère et d'un plan

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Soit \(S\) une sphère de centre \(\Omega\)  et de rayon \(r\)  et \(P\) un plan. On note \(\text H\) le projeté orthogonal de  \(\Omega\) sur \(P\)  :

• si  \(\Omega\text H>r\) , alors le plan ne coupe pas la sphère ;

• si  \(\Omega\text H=r\) , alors le plan coupe la sphère en un seul point. On dit dans ce cas que le plan est tangent à la sphère ;

• si \(\Omega\text H, alors le plan coupe la sphère selon un cercle.

Énoncé 1

Soit \(S\) le sphère de centre  \(\Omega(1~;~3~;-1)\)  et de rayon  \(r=5\) .

Soit \(P\) le plan d'équation cartésienne  \(3y-4z-60=0\) .

Soit \(d\) la droite perpendiculaire au plan   \(P\)   et passant par  \(\Omega\) .

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite  \(d\) .

2. Déterminer les coordonnées du pont \(\text H\) , projeté orthogonal de  \(\Omega\)  sur  \(P\) .

3. En déduire la distance de   \(\Omega\)  à  \(P\) . Le plan coupe-t-il la sphère \(S\) ?

Solution

1.  \(d\)  est dirigée par  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 0\\3\\-4\\ \end{pmatrix}\)  et passe par  \(\Omega(1~;~3~;-1)\) .
Donc une représentation paramétrique de  \(d\)  est :  \(\begin{cases} x = 1 \\ y = 3+3t \\ z = -1-4t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .

2. On cherche  \(\text H(x~;~y~;~z)\)  tel que  \(\begin{cases} x = 1 \\ y = 3+3t \\ z = -1-4t \\ 3y-4z-60=0\\ \end{cases}\) .
Alors,  \(t\)  vérifie :  \(3(3+3t)-4(-1-4t)-60=0 \Leftrightarrow 25t-47=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{47}{25}\) .
D'où  \(\text H\left(1~;~\dfrac{216}{25}~;-\dfrac{213}{25}\right)\) .

3. On en déduit alors  \(\overrightarrow{\Omega\text H} \begin{pmatrix} 0\\\dfrac{141}{25}\\-\dfrac{188}{25}\\ \end{pmatrix}\) . D'où  \(\Omega\text H = \sqrt{\dfrac{2\,209}{25}}=\dfrac{47}{5}=9,\!4>5\) .
Donc le plan ne coupe pas la sphère \(S\) .

Énoncé 2

Soit \(S\) le sphère de centre  \(\Omega(1~;~3~;-1)\)  et de rayon  \(r=5\) .

Soit \(P\) le plan d'équation cartésienne  \(3x+4y-40=0\) .

Soit \(d\) la droite perpendiculaire au plan   \(P\)   et passant par  \(\Omega\) .

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite  \(d\) .

2. Déterminer les coordonnées du pont \(\text H\) , projeté orthogonal de  \(\Omega\)  sur  \(P\) .

3. En déduire la distance de   \(\Omega\)  à  \(P\) . Le plan coupe-t-il la sphère \(S\) ?

Énoncé 3

Soit \(S\) le sphère de centre  \(\Omega(1~;~3~;-1)\)  et de rayon  \(r=5\) .

Soit \(P\) le plan d'équation cartésienne  \(z-3=0\) .

Déterminer l'ensemble des points \(\text M(x~;~y~;~z)\) communs à \(S\) et \(P\) .